Pourquoi Option Vanille ?

Un peu d’histoire… La frénésie des bulbes tulipes

Au XVIIe siècle, l’aristocratie néerlandaise avait un appétit inondé pour les bulbes tulipes. La tulipe était un symbole de succès social à l’époque. À cette époque, les agriculteurs qui la cultivaient ont acheté des options pour protéger leurs profits contre une chute inattendue des prix de l’oignon. En revanche, les grossistes se sont protégés contre la hausse des prix des bulbes tulipes grâce à des options d’achat. Dans les années 1630, même un marché secondaire pour les options a été créé, ce qui permet aux investisseurs de spéculer sur le prix des ampoules. Cette hausse des prix a finalement conduit à la création et à l’implosion d’une bulle spéculative qui a provoqué une récession économique à grande échelle.

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L’ interdiction de la manipulation des options

Après cette récession, et malgré l’existence d’un marché des options organisé en 1600 À Londres, les options dans de nombreux pays ont été comme interdit aux États-Unis, en Angleterre et au Japon. Les options étaient même strictement interdites en Angleterre du début du XVIIIe siècle jusqu’à la fin du XIXe siècle.

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Russell Wise

Russel Sage, un financier américain, a fondé une firme de courtage à la fin du XIXe siècle pour s’occuper des options de vente de gré à gré et des options de vente. Sage a été la première personne à établir un lien entre le prix d’une option, sa valeur sous-jacente et les taux d’intérêt. Il a utilisé le principe de l’appel de parité pour imaginer des prêts synthétiques. Ce principe l’a même amené à fixer les taux d’intérêt sur les prêts, qu’il offrait en sélectionnant soigneusement les grèves et les prix des options. Russel Sage a contribué de manière significative au développement du marché des options. À la fin des années 1800, les courtiers et les opérateurs de marché font de la publicité pour attirer les acheteurs et les vendeurs d’options. L’Association des courtiers et des acteurs du marché en appel et en vente a été créée dans le but de fédérer les réseaux pour créer le manque de liquidité.

Le marché des options cotées

Le marché des options a continué de se développer et était principalement contrôlé par des courtiers titulaires de contrats de gré à gré. Les courtiers ont ensuite réalisé des bénéfices par rapport à la différence entre le prix de vente et le soumissionnaire différé. Rappelez-vous : Les courtiers achètent au prix d’achat (enchérir) et vendre en vente (demander) avec enchère

L’ explosion du marché

En 1968, le Chicago Board of Trade (CBOT) a enregistré une diminution significative du volume traité sur le marché à terme des matières premières. Pour y faire face, le CBOT voulait diversifier l’offre de produits pour ses membres et créer un marché réglementé pour les options cotées. En 1973, le CBOE (Chicago Board of Option Exchange) est né. Lorsque CBÖ a fait affaire, très peu de contrats étaient répertoriés et seuls les appels étaient répertoriés. La méthodologie manquante pour calculer le prix d’une option et les écarts très larges étaient encore des obstacles importants à l’explosion du marché. En 1973, les professeurs Fisher Black et Myron Scholes ont développé une formule mathématique qui a finalement calculé le prix exact d’une option. pour la première fois dans son histoire, les options ont traité la marque symbolique de 20.000. Près de 4 siècles après la crise des bulbes tulipes aux Pays-Bas, le commerce des options est né sur un marché réglementé.

Qu’est-ce qu’une option ? Une option est un produit financier qui est traité sur une bourse (option cotée) ou hors comptoir (OTC). Une option est un contrat qui donne à l’acheteur le droit de ne pas acheter un actif sous-jacent à un prix fixe (exercice) pendant une période (option américaine) ou à une date prédéterminée (vente) ou à une date spécifique Date (option européenne). La grève, comme tous les autres paramètres, est fixée à l’avance au moment du contrat. Les options américaines peuvent être exercées à tout moment avant la date d’expiration, tandis que les options européennes ne peuvent être exercées qu’à l’échéance. L’exercice d’une option implique l’utilisation du droit d’acheter ou de vendre l’actif sous-jacent à la valeur de la grève.

Le cas d’un agriculteur

Pour illustrer ce qu’une option peut être utilisée, prenons le cas d’un agriculteur. L’agriculteur est un vendeur structurellement vendable de sa récolte. Si l’agriculteur s’attend à un risque élevé de diminution de la valeur de sa production, il peut acheter une option de vente due à la date de récolte pour vendre un plancher à son prix.

Le cas d’un bijoutier

Un bijoutier doit acheter de l’or structurellement. Si un bijoutier s’attend à une hausse du prix de l’or, il achète une option pour acheter de l’or afin qu’il puisse acheter sa matière première à un prix maximum égal au prix d’exercice de son option.

Les Grecs Le prix d’une option (la prime) dépend de plusieurs paramètres :

• La valeur de l’actif sous-jacent
• Volatilité du rendement
• Le niveau des taux d’intérêt
• Le passage du temps

Les Grecs (Delta, Gamma, Vega, Rho) permettent aux participants du marché de connaître la sensibilité de la prime d’une option pour la variation de chaque paramètre.

Le Delta

Le delta vous permet de connaître la sensibilité de l’option de déplacement de l’actif sous-jacent. Dans le cas d’un achat d’appel, le sous-jacent augmente d’autant plus la valeur de la prime. HAT, à l’inverse, le sous-jacent augmente la valeur de la prime lorsqu’elle est mise sur la base. Par exemple, prenons un appel avec un delta de 10€. Si la valeur sous-jacente augmente de 2€, la prime du Option de 10 × 2 = 20€.

Gamma

Le gamma est utilisé pour déterminer la sensibilité de l’option de tolérance delta ou la sensibilité de l’option aux variations quadratiques du sous-jacent. Dans le cas d’un achat d’appel, plus le sous-jacent est éloigné, plus le sous-jacent est éloigné, plus le prix augmente. Dans le cas d’une vente par appel, plus loin de sa valeur initiale, le prix diminue à mesure que le sous-jacent est retiré de sa valeur initiale. Par exemple, prenez un appel avec un gamma de 2€. Si le sous-jacent diminue de -2 €, la prime d’option varie de 0,5* 2* (-2) ^ (2) = 4€. Étant donné que l’exposition au gamma est proportionnelle au carré de variation du sous-jacent, la direction dans laquelle le sous-jacent varie n’a pas d’incidence.

Le Vega

Le Vega vous permet de connaître la sensibilité de l’option pour déplacer la volatilité implicite du sous-jacent. Avec un achat d’appel, le augmentation des prix d’autant plus de volatilité. Par exemple, prenons un appel avec un Vega de 5€. Si la volatilité implicite augmente de 2%, le bonus de l’option varie de 5*2=10 €.

La Thêta

Le thêta permet de détecter la sensibilité de l’option au passage du temps. Lorsque vous achetez un appel, la valeur diminue à mesure que vous vous rapprochez de la maturité. Par exemple, prenez un appel avec un thêta de 0,10 cent d’EUR. Chaque jour, le bonus de l’option varie de -0,10 €.

Le Rho

Rho permet de détecter la sensibilité de l’option de changement des taux d’intérêt. Avec un achat par appel, la valeur de la prime d’option augmente encore plus. Par exemple, prenons un appel avec un Rho de 3€. Si la courbe de taux fait un décalage parallèle de 2%, le bonus de l’option varie de 3 × 2 = 6€.

Gérer un carnet d’options

Un créateur de marché dans un marché d’options réglementé comme EUREX ou Liffe est obligés d’afficher à la fois les prix d’achat et de vente tout au long de la journée de négociation. Il générera donc des bénéfices en raison de la différence entre le prix d’achat et le prix de vente. Tout au long de la journée, les options traitées sont donc combinées avec le livre que le créateur de marché doit gérer dynamiquement. Structurellement, l’espace de marché d’une BFI ne veut pas prendre de position de direction sur les marchés parce qu’ils sont trop risqués. Le créateur de marché vendra donc son Delta, qui est son engagement dans la gestion du marché. Pour vendre son delta, le créateur de marché vend ou achète des actifs sous-jacents ou des contrats à terme.

Bien que la vente ou l’achat d’actifs sous-jacents ou à terme suffisent pour neutraliser le delta, il est plus difficile de neutraliser d’autres sensibilités. En fait, si le fabricant du marché vend des appels et met, il a une position qui n’est pas seulement avec Delta, mais aussi avec gamma, Vega et Theta définis.

Afin de neutraliser les sensibilités autres que Delta, le fabricant de marché doit acheter ou vendre des options tout au long de la journée de négociation.

Les Grecs et l’approche de Taylor

Exprimant la valeur d’un appel, en fonction de ses paramètres, avant de faire une approximation à Taylor, nous obtenons :

C=Vgauche (t, S, Sigma, droite)

dcleft (t, S, sigma, rright) =frc {partiel C} {partiel C} {partiel C} {partiel C} {partiel S} ds frac {2} engc {partiel ^2c} {partiel S ^ 2} d ^ 2 franc {partiel C} dr

DClever (t, S, Sigma, Rright) =thêta DT Delta DS FRAC {1} {2} gamma ds^2 vartheta dsigma rho dr

Les Grecs nous permettent donc de donner une idée très précise des variations du prix d’un appel à des variations infinitésimales de variables dont dépend sa valeur.

L’ approche graphique

La démonstration de Schwarz et Scholes (1973) Soit P est un portefeuille autofinancé comprenant une option VLeft (S, Tright) et le montant delta du S sous-jacent :

Ppleft (Triple) = Vleft (S, Tright) Delta S (t)

1. Le S sous-jacent évolue après un processus ito : frac {dS} {S} =mu dt sigma dz avec dz = nLeft (0, dTRight)
2. Le sous-jacent est une action qui ne paie pas de dividendes
3. Le taux d’intérêt sans risque est constant
4. Il n’y a pas de frais de courtage
5. Le rendement suit la distribution normale du log
6. L’ option est européenne
7. Le marché est efficace

Itos Lemma nous donne pour vleft (S, tright)

DVLeft (S, droite) =gauche (frac {partiel V} {t partiel} mu sfrac {partiel V} {partiel V} {partiel S} engc {1} {2} sigma^2s^2frac {partial^2v} {partiel S^2} droite) dt sigma sfrac {partiel V} {partiel S} dZ

Étant donné que le portefeuille est autofinancé, les actifs du portefeuille sont les seuls éléments qui évoluent au fil du temps :

DP=DV Delta Ds

dp=liens (frac {partiel V} {partiel t} mu sfrac {partiel V} {partiel S} frac {1} {2} sigma^2frc {partial^2v} {partial^2v} {partiel s ^ 2} deltamu droit) dt liens (Sfma Sfrac {partiellement V} {partiel S} deltaishma dz)

Portefeuille P est sans risque :

gauche (Sigma Sfrac {partiel V} {partiellement S} Deltasigma Sright) =0 Droite Delta =-engc {partiel V} {partiellement S}

Étant donné que le portefeuille est sans risque, il doit retourner le taux d’intérêt sans risque :

dp=rpdt

L’ équation Black et Scholes est obtenue :

frac {partiel V} {t partiel} frac {1} {2} sigma^2s^2frac {partial^2v} {partiel S ^ 2} RSFrac {partiel V} {partiel S} -rv=0

Avec des conditions limites :

• vleft (0, trois) =0
• Vleft (S, Tright) sim S si Srightarrow
• vleft (S, Tright) =gauche (S-Kright) ^

Des changements variables sont apportés dans l’équation Black et Scholes :

x=ln {Frac {S} {K}}

tau=fra {sigma^2} {2} gauche (t-droite)

vleft (S, Tright) =cvleft (x, taright)

k=deu {r} {frac {sigma^2} {2}

vleft (x, taright) =e^ {alpha x betatau} gauche (x, taright)

alpha=-fra {k-1} {2}

beta=-engc {gauche (k 1 droite) ^2} {4}

L’ équation B&S est :

frac {partiellement gauche (x, taright)} {partialTau} =frc {partial^2uleft (x, taright)} {partiellement x^2}

Nous reconnaissons la équation de propagation de la chaleur, dont la solution est :

uleft (x, tauright) =frc {1} {sqrt {2pitau}} int_ {-infty} ^ { infty} {u_0left (sright) e^ {-frac {left (x-sright) ^2} {4tau} ds

Avec :

d_1=engc {ln {left (frac {S} {K} droite)} gauche (r frac {sigma^2} {2} droite) gauche (t-droite)

d_2=engc {ln {left (frac {S} {K} droite)} gauche (r-frac {sigma^2} {2} droite) gauche (t-droite)

varphileft (xright) =frac {1} {sqrt {2pi}} int_ {-infty} ^ {x} {exp^ {-frac {y^2}} dy=pleft (Xle xright) pour x=nLeft (0.12right) La distribution centrée réduite de la distribution normale.

Nous obtenons le résultat final de la valeur d’un appel en t du S sous-jacent :

Colonne (S, Tright) =Sgauche (Tright) Varphileft (d_1droite) -Kexp^ {-rleft (t-droite)} varphileft (d_2right)